Анализ главных компонентов (PCA) — это статистический метод, который широко используется для уменьшения размерности больших наборов данных. Цель PCA состоит в том, чтобы определить основную структуру данных, найдя направления максимальной дисперсии, также известные как основные компоненты. Эти основные компоненты используются для преобразования исходных данных в новый набор некоррелированных переменных, называемых оценками основных компонентов. В этой статье мы обсудим теорию и приложения PCA, а также его ограничения.
Теория PCA основана на собственных векторах и собственных значениях ковариационной матрицы данных. Собственные векторы ковариационной матрицы представляют направления максимальной дисперсии данных, а собственные значения представляют величину дисперсии в этих направлениях. Эти собственные векторы и собственные значения используются для создания основных компонентов, которые используются для преобразования исходных данных в новый набор некоррелированных переменных.
Анализ главных компонентов (PCA) — это метод, используемый для уменьшения размерности набора данных при сохранении как можно большего количества информации. Ниже приводится математическое объяснение этапов PCA:
- Стандартизация. Первым шагом в PCA является стандартизация данных путем вычитания среднего значения и деления на стандартное отклонение. Это делается для того, чтобы все переменные находились в одном масштабе, что необходимо для PCA. Стандартизированные данные обозначаются как X.
- Ковариационная матрица: Следующим шагом является вычисление ковариационной матрицы стандартизированных данных. Ковариационная матрица представляет собой квадратную матрицу, содержащую попарные ковариации между переменными.
- Собственные векторы и собственные значения: далее вычисляются собственные векторы и собственные значения ковариационной матрицы. Собственные векторы представляют направления максимальной дисперсии данных, а собственные значения представляют величину дисперсии в этих направлениях. Собственные векторы и собственные значения вычисляются путем решения следующей проблемы собственных значений:
- Основные компоненты: главные компоненты — это собственные векторы, соответствующие наибольшим собственным значениям. Они представляют направления максимальной дисперсии данных. Количество основных компонентов обычно выбирается таким, чтобы оно было меньше или равно количеству переменных в исходных данных.
- Оценки основных компонентов. Оценки основных компонентов представляют собой проекции исходных данных на основные компоненты. Они вычисляются путем умножения исходных данных на матрицу собственных векторов.
- Интерпретация: объясненная дисперсия и нагрузки главных компонентов могут быть использованы для интерпретации результатов PCA. Объясненная дисперсия — это доля общей дисперсии данных, которая объясняется каждым главным компонентом. Нагрузки — это коэффициенты, описывающие линейную комбинацию исходных переменных, составляющих каждую главную компоненту.
Таким образом, PCA — это метод, который использует собственные векторы ковариационной матрицы набора данных для уменьшения размерности данных при сохранении как можно большего количества информации. Шаги, связанные с PCA, включают стандартизацию данных, вычисление ковариационной матрицы, вычисление собственных векторов и собственных значений, выбор главных компонентов, вычисление оценок главных компонентов и интерпретацию результатов анализа.
Применения PCA: PCA широко используется во многих областях, включая распознавание образов, обработку изображений и речи и биоинформатику. Некоторые распространенные приложения включают в себя:
- Сжатие данных: PCA можно использовать для уменьшения размерности данных при сохранении наиболее важной информации.
- Извлечение функций: PCA можно использовать для определения основных функций данных, которые затем можно использовать в качестве входных данных для других алгоритмов машинного обучения.
- Визуализация: PCA можно использовать для создания двумерных или трехмерных графиков данных, которые можно использовать для выявления закономерностей и кластеров в данных.
Интерпретация результатов PCA. Результаты PCA можно интерпретировать, рассматривая объясненную дисперсию и нагрузки основных компонентов. Объясненная дисперсия — это доля общей дисперсии данных, которая объясняется каждым главным компонентом. Нагрузки главного компонента — это коэффициенты, описывающие линейную комбинацию исходных переменных, составляющих этот компонент. Глядя на объясненную дисперсию и нагрузки, можно определить закономерности и структуры в данных.
Недостатки PCA: PCA имеет некоторые ограничения, которые следует учитывать при его использовании для анализа данных. Некоторые из недостатков PCA включают в себя:
- PCA чувствителен к масштабированию данных и выбросов.
- PCA не может обрабатывать категориальные переменные, которые должны быть каким-то образом закодированы перед выполнением анализа.
- PCA не может обрабатывать отсутствующие данные, которые должны быть вменены или удалены перед выполнением анализа.
В реальных данных переменные часто коррелируют. Эта корреляция может привести к сбою PCA, поскольку собственные векторы ковариационной матрицы не будут представлять истинные направления максимальной дисперсии данных. Вместо этого собственные векторы будут представлять направления максимальной дисперсии в коррелированных данных, которые могут не совпадать с истинными направлениями максимальной дисперсии.
Влияние корреляции на PCA можно увидеть в результатах анализа. Когда переменные коррелированы, главные компоненты могут не отражать истинную базовую структуру данных. Это может привести к потере важной информации и снижению интерпретируемости результатов. Кроме того, объясненная дисперсия и нагрузки главных компонентов могут неточно отражать закономерности в данных.
Одним из способов смягчения влияния корреляции на PCA является использование методов регуляризации, таких как гребневая регрессия или регрессия основных компонентов (PCR). Эти методы добавляют штрафной член к проблеме собственных значений, что уменьшает влияние корреляции на собственные векторы и собственные значения. Другой подход заключается в использовании других методов уменьшения размерности, таких как анализ независимых компонентов (ICA) или неотрицательная матричная факторизация (NMF), которые не предполагают некоррелированных переменных.
Вот пример того, как реализовать PCA в Python с помощью библиотеки scikit-learn:
from sklearn.decomposition import PCA
import numpy as np
# Create a sample data set with three variables
data = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
# Initialize the PCA model with the number of principal components you want to keep
pca = PCA(n_components=2)
# Fit the PCA model to the data
pca.fit(data)
# Transform the data to the principal component space
transformed_data = pca.transform(data)
# Print the principal components
print("Principal components: \n", pca.components_)
# Print the explained variance
print("Explained variance: \n", pca.explained_variance_ratio_)
# Print the transformed data
print("Transformed data: \n", transformed_data)
В этом примере мы сначала импортируем класс PCA из библиотеки scikit-learn и библиотеки numpy. Затем мы создали образец набора данных с тремя переменными и инициализировали модель PCA количеством основных компонентов, которые мы хотим сохранить, в данном случае равным 2. Затем мы подгоняем модель PCA к данным и используем метод преобразования для преобразования данных в пространство основных компонентов. Наконец, мы напечатали главные компоненты, объясненную дисперсию и преобразованные данные.
Principal components: [[ 0.57735027 -0.57735027 0.57735027] [ 0.57735027 0.57735027 0.57735027]] Explained variance: [0.99244289 0.00755711] Transformed data: [[-1.73205081 -0.57735027] [ 0. 0. ] [ 1.73205081 0.57735027]]
Главные компоненты — это направления максимальной дисперсии данных, а объясненная дисперсия — это доля общей дисперсии данных, которая объясняется каждой главной компонентой. Преобразованные данные — это данные, спроецированные на главные компоненты.
Вы также можете выполнить обратное преобразование, используя метод inverse_transform().
Стоит отметить, что это простой пример, и в реальных сценариях вам нужно будет учитывать другие факторы, такие как отсутствующие данные, выбросы и корреляцию между переменными при реализации PCA.
Вывод. PCA — это мощный метод, который можно использовать для уменьшения размерности больших наборов данных и определения базовой структуры данных. Однако у него есть некоторые ограничения, которые следует учитывать при использовании его для анализа данных. Несмотря на свои ограничения, PCA широко используется во многих областях и доказал свою эффективность во многих приложениях.
