Никогда нельзя недооценивать важность математики в сценариях реальной жизни. Будь то кодирование ключей, криптология с использованием Современной алгебры или расчет ВВП через ОДУ. Вам когда-нибудь приходилось сталкиваться с этим, как можно легко рассчитать почасовую заработную плату рабочих или 3D, 2D-моделирование или создание моделей машинного обучения.. Что ж, я ненавижу портить вам удовольствие. Давайте сегодня изучим основные понятия линейного преобразования. Я намерен обсудить несколько основных концепций и отработать некоторые из них для лучшего понимания.
Неформально линейное преобразование сохраняет алгебраические операции. На самом деле линейные преобразования отправляют или сопоставляют один вектор с другим. Давайте разогреемся с определениями.
Линейное преобразование T из векторного пространства V в векторное пространство W — это отображение, удовлетворяющее следующим критериям
1. T(0)=0
2. T(v + v ) = T(v ) + T(v )
3. T(av)=aT(v)
где a.∈ R и v∈ В
ОБЛАСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Областью линейного преобразования является векторное пространство, в котором действует преобразование.
Если T(v)=w, то v — это вектор в домене, а w — это вектор в диапазоне, содержащемся в домене кода.
Например. Домен преобразования T: R→ R равен R (набор действительных чисел)
Пространство диапазонов: T: V → W — линейное преобразование, тогда изображение или диапазон T — это набор всех векторов w W таких, что
T(v)=w для некоторого v ∈V
Тогда R(T)= {w ∈W: T(v)=w для некоторого v∈ В}
Нулевое пространство: для того же преобразования нулевое пространство — это набор всех векторов v ∈V,
таких, что T(v)=0
т.е. N(T)= {v ∈V: T(v)=0}
Ядро гомоморфизма: множество K всех элементов V, которые отображаются в нулевой элемент V, называется ядром гомоморфизма.
В контексте линейных преобразований ядро и нулевое пространство имеют одно и то же значение.
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ: любое линейное отображение T: V → R называется линейным функционалом или линейной формой.
ДВОЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО: множество линейных форм в заданном векторном пространстве называется двойственным к V. Двойственное пространство — это векторное пространство линейных функций.
ЭНДОМОРФИЗМ: любое линейное отображение (или преобразование) T:V → V называется эндоморфизмом V, т.е. L(V,V)=End(V)
Типы линейных преобразований:
Нулевая трансформация: трансформация T:V→W ,
называется нулевым преобразованием, если оно преобразует каждый вектор V в нулевой вектор W.
i.e, T(v)=0
Преобразование удостоверения. Это преобразование всегда возвращает значение, которое использовалось в аргументе, без изменений.
i.e, T(v)=v
Несколько ключевых моментов:
# Если T — неособое преобразование, т. е. N(T)=O и Rank(T)=Dim(V), то T также равно 1–1.
#Для сингулярного преобразования Nullity ≥ 1 и Rank является подмножеством Dim(V)
# Для неособого преобразования Nullity = 0 и Rank = Dim(V)
#если не 1–1, то много-один
Ниже я обсудил несколько проблем из рассмотренных выше концепций, надеюсь, они помогут вам получить четкое представление об этой концепции.
Это все на сегодня! Надеюсь, вам понравилось, и это помогло вам. пожалуйста, не стесняйтесь поделиться своими предложениями в разделе комментариев ниже. А пока до свидания❤
Для справки я использовал
- Линейная алгебра: геометрический подход С. Кумаресана
- Схема Шаума для линейной алгебры
- Высшая алгебра С.К. Мапы.
