Мысленный поиск корней и квадратов (или, по крайней мере, приблизиться)

🔲 🌿 𝓷

Как найти квадрат числа?

Что, если это число имеет десятичный разряд?

Что такое б²?

Ответ: используйте то, что вы уже знаете.

Вот уравнение:

b² = a² + Δ * Σ

Это немного загадочно. Вот еще раз это уравнение:

пункт назначения² = источник² + разница * сумма

Примечание: разница = (пункт назначения — пункт отправления).
Подъем вверх должен иметь положительную разницу.

Или это:

назначение² = исходное² + (назначение - исходное)(назначение + исходное)

Или, для визуальной простоты:

b² = a² + (b - a)(b + a)

Думайте: «доехать из а в б».

Другими словами:

Чтобы получить квадрат числа (b², например, 3,5² = ?), вы можете использовать уже известный вам квадрат (a², например, 3² = 9) и просто добавить разность, умноженную на сумму назначения и происхождения. Бонус: числа с 0,5 и 0,1 особенно просты, и их можно использовать для получения чисел с 0,6.

Пример: 3,5² = ?

В нашем уравнении мы можем использовать 3²:
3,5² = 3² + (3,5–3)(3,5 +3)
3,5² = 9 + (0,5)(3 x 2 + 0,5)
3,5² = 9 + половина (6 + 0,5)
3,5 ² = 9 + 3 + 0,25

Итак: 3,5² = 12,25.

Мы получили 3,5², используя то, что мы уже знаем (3² = 9), а затем провели некоторые вычисления, используя относительно меньшие числа и умственные сокращения.

Хорошо, но зачем это делать?

Суть заключалась в том, чтобы попрактиковаться в решении проблем. Явная цель состояла в том, чтобы ответить на вопрос практики программирования: как реализовать или «вручную» вычислить квадратный корень любого числа? Есть несколько решений, но одно решение включает в себя:

  1. Первоначальное обоснованное предположение (выберите меньше, чем число, например, sqrt (17) должно быть меньше 17, поэтому, возможно, выберите 4),
  2. проверка, является ли это предположение² выше/ниже числа (например, 4² меньше 17),
  3. корректировка с использованием эффективного поиска чисел ниже/выше этого числа (двоичный поиск за время O(logN)), и
  4. повторяя шаги 2 и 3, пока не получите точный ответ или не остановитесь на достаточно близком ответе.

Наши упрощенные уравнения дают нам возможность мысленно выполнить шаг 2, особенно когда шаги 3 и 4 дают нам число с десятичным знаком по мере того, как мы получаем все более и более точные ответы.

Доказательство для любознательных:

Используйте алгебру.

b² = a² + (b - a)(b + a)
b² = a² + (b² + ba - ab - a²), используя распределительное свойство
b² = a² + b² - a², исключая ab - ab
b² = b²
Доказано.

Но на самом деле это не показывает, как было найдено уравнение . Дело в том, что уравнение в основном является ответом. Итак, как найти уравнение?

Как было найдено уравнение (то есть ответ):

Открытие. Вот где настоящее решение проблемы. Найдите закономерности в квадратах чисел и закономерности в различиях между пунктом назначения и отправной точкой. Отсюда и уравнения в начале этого поста, включающие место назначения, происхождение, разность и сумму.

В общем, используйте то, что вы уже знаете (например, более простые квадраты или те, которые вы уже вычислили), и опирайтесь на эти вещи, чтобы приблизиться к решению. Иди с тем, что знаешь. Откройте для себя закономерности. Проблема решена. Если вам просто нужен быстрый ответ, вы можете воспользоваться калькулятором или компьютерным помощником. Но если вы хотите попрактиковаться в решении проблем, максимально используйте уже имеющиеся у вас умственные инструменты и развивайтесь на их основе.

Первоначально опубликовано здесь.