Думай как Архимед
Тригонометрия берет свое начало в изучении круга. Вот как выполнить триггер, используя только папирус и стилус.
Когда Архимед вычислил значение π, он аппроксимировал окружность 96-угольником. С помощью метко названного метода истощения он рассчитал периметр этой фигуры.
Это утомительная работа, но, возможно, не такая утомительная, как вы могли догадаться. Мы можем сделать то же самое всего с четырьмя итерациями этой функции. Каждая итерация удваивает количество сторон.
Центральный элемент f (1) дает нам двенадцатиугольник (12 сторон). Следующая итерация - икоситетракон (24-угольник). Далее следует четырехугольник (48-угольник). Наконец, у нас есть эннеаконтакайгексагон.
(Как вы думаете, почему мы умножаем на 48 вместо 96?)
В этой статье мы начнем строить тригонометрию с нуля. Мы заложим фундамент с его исторической связью с геометрией круга. В другой статье мы обобщим тригонометрию с точки зрения коник и комплексного анализа. По пути мы можем найти странный треугольник.
Bob has a 15-foot ladder. Alice’s window is 12 feet above the ground. The ladder manufacturer recommends placing the ladder between 25 and 35 degrees with the horizontal. Can Alice and Bob safely elope? (Assume that Alice and Bob have no mass, the wall and ground are frictionless and that pigs fly.)
All too familiar? That’s our usual introduction to trigonometry. It’s all about the ratios of the sides of a right triangle. And if you have a scalene triangle, you can find two right triangles within. What else could there be?
Таблицы аккордов Гиппарха и Птолемея
Предшественником современной синусоидальной функции является функция аккорда. Хорда - это отрезок прямой, проведенный между двумя точками на окружности круга. Пример - сегмент AB ниже. Хорда определяется углом, который она образует.
Наш современный синус относится к полуаккорду античности. Изучите диаграммы вверху и внизу, чтобы убедиться:
Древний санскритский термин для обозначения аккорда круга - ज्या (jyā), что означает аккорд или тетива. Оттуда слово перешло на арабский язык как جِيبَ (jība). Гласные в семитских языках записываются (если они вообще написаны) как диакритические знаки. Переводчики ошибочно приняли ب (jb) с арабским جَيْب (jayb), что означает карман или мешочек. Сегодня мы используем слово синус от латинского sinus. Это карман за носом, который вы замечаете в сезон аллергии.
Гиппарх (2 век до н.э.) привел длину хорды в таблице с шагом 7½⁰. Когда Птолемей вскоре опубликовал свой Альмагест, он включил таблицу аккордов для каждой половины дуги.
Если использование Птолемеем шестидесятеричных (основание 60) чисел кажется странным, подумайте вот о чем: наше использование степеней основано на этой системе. Делим круг на 6 × 60 единиц. Мы делим час на 60 частей, каждую из которых делим на 60. Число 60 очень сложное: у него есть несколько факторов. Таким образом, его легко можно разделить на фракции. Эта особенность делает его подходящей базой для системы подсчета.
Длина хорды, которую Птолемей ассоциирует с 1⁰, равна длине стороны 360-угольника. Таким образом, мы можем аппроксимировать π:
Сторона шестиугольника, вписанного в круг, имеет тот же радиус, что и этот круг. Мы хотим найти функцию для последовательного удвоения количества сторон вписанного многоугольника.
Если вы застряли на удаленном острове без калькулятора, вы можете создать свою собственную таблицу аккордов. Возьмем сектор ⅙ единичной окружности. Хорда, которая образует угол 60 ° с центром, образует одну сторону равностороннего треугольника. Таким образом, хорда 60⁰ = 1.
Мы можем разделить угол 60⁰ пополам, чтобы получить две хорды по 30⁰.
Это генерирует два полуаккорда, BF и EF.
Построение также дает нам две хорды, которые соединяют 30⁰ каждая. Признавая, что CEF - прямоугольный треугольник, мы можем решить для CF:
Учитывая, что AC - это радиус (1), теперь у нас есть AF:
Наконец, решаем гипотенузу AEF:
Это 30⁰ - половина угла 60⁰.
Функция полуаккорда
Мы можем обобщить этот процесс для создания новой функции:
Берем общий угол и делим его пополам. Теперь у нас есть полуаккорд. Радиус AC по-прежнему равен 1.
Как и раньше, мы решаем другой катет прямоугольного треугольника, CEF:
Хорда AE образует наш половинный угол. Это гипотенуза AEF. У нас есть EF. Нам понадобится AF:
Наконец, гипотенуза:
Эта формула полуугла аналогична той, которая есть у нас для синусоидальной функции. Достаточно важно, чтобы заслужить красивую коробку:
Мы можем продолжить повторное применение этой функции дважды, чтобы получить значения для 15⁰ и 7½⁰.
Этот метод дает нам 7½⁰, 15⁰, 30⁰ и 60⁰. А как насчет 22½, 37½ и так далее? Мы можем расширить нашу таблицу формулой разницы углов хорды. Вооружившись таким инструментом, мы можем решить неизвестные углы из пар известных углов.
Приведенный ниже вывод использует теорему Птолемея. Начнем с определения каждого сегмента с точки зрения углов α и β.
Затем применим теорему Птолемея.
Небольшая перестановка оставляет нас с:
Дополнительные углы, необходимые в приведенной выше формуле, мы можем получить от Пифагора.
Это единичный круг, поэтому мы знаем BD. Дополнительным аккордом для BC является CD.
Если, например, мы хотим произвести crd 52½⁰, мы принимаем α = 60⁰ и β = 7½⁰. Crd 60⁰ = 1 и crd 7½⁰ получаем из последовательных применений теоремы о полухорде. Пифагор предоставляет добавки 180⁰-60⁰ и 180⁰-7½⁰.
Другие основные аккорды
В приведенном выше примере мы использовали равносторонний треугольник для создания хорды длиной 1. Вот два других треугольника, из которых мы могли бы генерировать базовые хорды. Первый - crd 90⁰; второй - crd 36⁰. Можете ли вы разгадывать эти аккорды? Первый довольно простой; второй более задействован.
У каждого треугольника есть одно общее: радиус круга состоит из двух сторон. Третья сторона - это аккорд. Кроме того, каждый круг заполняется целым числом, кратным каждому треугольнику.
Оценка сурдов
Что нам делать со всеми этими квадратными корнями? Предположим, вам нужен квадратный корень из 3. У древних вавилонян была такая система:
- Предположить.
- Посмотрите, насколько близко ваше предположение, разделив его на 3.
- Возьмите среднее арифметическое частного и свое исходное предположение. Это твое новое предположение.
- GOTO step 2.
Вы получите последовательность чисел. Каждый член представляет собой все более близкое рациональное приближение к √ 3.
Постройте функцию вместе с каждым предположением. Каждая последующая точка отскакивает вниз, как шарик рулетки, в углубление кривой. Наша желаемая точка называется фиксированной точкой. Как и в Риме, все дороги ведут туда.
Поздравляю. Теперь вы можете рассчитать длину хорды вручную. Оттуда простое преобразование даст вам половину аккорда или синус.
И можно смело сбежать.
