Как связать DateTime как DepedencyProperty объекта DependencyObject, чтобы он отображался в текстовом поле?

Прежде всего, если вы хотите обновлять время отображения раз в секунду, вам понадобится таймер для запуска обновления. Для этого хорошо работает DispatchTimer.

public class TestDependency : DependencyObject
{
    public static readonly DependencyProperty TestDateTimeProperty =
        DependencyProperty.Register("TestDateTime", typeof(DateTime), typeof(TestDependency),
        new PropertyMetadata(DateTime.Now));

    DispatcherTimer timer;

    public TestDependency()
    {
        timer = new DispatcherTimer(new TimeSpan(0,0,1), DispatcherPriority.DataBind, new EventHandler(Callback), Application.Current.Dispatcher);
        timer.Start();

    }

    public DateTime TestDateTime
    {
        get { return (DateTime)GetValue(TestDateTimeProperty); }
        set { SetValue(TestDateTimeProperty, value); }
    }

    private void Callback(object ignore, EventArgs ex)
    {
        TestDateTime = DateTime.Now;
    }

}

Далее нам нужно изменить XAML, чтобы он правильно привязывался к обновленному объекту зависимостей.

<Window.DataContext>
    <local:TestDependency/>
</Window.DataContext>
<Grid>
    <TextBlock Text="{Binding TestDateTime}" />
</Grid>

Поскольку мы устанавливаем DataContext в XAML, вы фактически можете удалить весь код позади кода в конструкторе MainWindow.

Если вы просто хотите показать некоторые значения в своем TextBlock, вам здесь не нужен объект зависимости. Попробуйте что-то вроде этого:

public partial class MainWindow : Window
{
    public DateTime Test
    { get; set; }

    public MainWindow()
    {
        InitializeComponent();
        this.Test = DateTime.Now;
    }
}

<Grid>
    <TextBlock Text="{Binding Path=Test,RelativeSource={RelativeSource AncestorType=Window,Mode=FindAncestor}}"></TextBlock>
</Grid>

Здесь я не показываю код, который может обновлять значение каждую секунду. Я просто хочу уточнить, что это неправильная ситуация для использования свойства зависимости. Конечно, для этого вы можете использовать Dependency Property. Но объект зависимости и свойство зависимости могут предложить вам некоторые дополнительные функции, такие как привязка данных. Но это не означает, что вам нужно использовать объект зависимости или свойство зависимости в качестве источника привязки данных.